Ensalada real de la tangente hiperbólica de Sonic Pi

Aug 20, 2026·misc notes

tanh dsp sonic-pi nonlinear-distortion harmonics

Dentro de las muchas funciones que se ven en Cálculo de editorial NO MIRES está la función que encuentras al despertar de cada día, sí, la función tangente hiperbólica que aparece cuando quieres el efecto with_fx :tanh en Sonic Pi 5.

Y sonoramente produce una especie de sonido distorsionado, si hablamos en términos muy livianos.

Tangente hiperbólica en la documentación de Sonic Pi v5

Pues antes que nada y que todo por aquí, no entraré en detalle y solo haremos un sofrito con esto, anquilosémonos en la variable real $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Vamos al meollo básico del efecto en su forma ideal.

Spoiler: La implementación precisa de parámetros en Sonic Pi se puede extraer desde el código fuente mediante el análisis del grafo .dot del synthdef.

Relleno de la causa

Matemáticamente la escribes así: $\tanh(x)$ . Iba a usar GeoGebra, pero quedémonos en Desmos. El gráfico real de la función se ve de la siguiente manera:

Función tangente hiperbólica real

De aquí deducimos (al ojo) raudamente que su dominio es $\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}$ y la imagen es $\operatorname{Im}(f)=(-1,1)$ .

Pero, ¿cómo se define con mejor claridad esta función? Llamemos a Taylor, el de las series (Maclaurin porque es en cero entre nosotros). Series y más series de Netflix. Recordemos que, por las definiciones clave de cálculo, la tangente hiperbólica puede mirarse como un bonito cociente de dos ondas:

\sinh(x) = x + \frac{x^3}{\Gamma(4)} + \frac{x^5}{\Gamma(6)} + \cdots

\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{\Gamma(3)} + \frac{x^4}{\Gamma(5)} + \cdots

La función Gamma debe emanar y replicarse en las series a borbotones.

Y la jugada consiste en dividirlas (alrededor de $x=0$ ) como

\begin{aligned} \tanh(x) &= \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} \\ &\quad - \frac{17x^7}{315} + \frac{62x^9}{2835} \\ &\quad - \frac{1382x^{11}}{155925} + \frac{21844x^{13}}{6081075} \\ &\quad + \cdots \end{aligned}

Poco a poco, comenzamos a ver que hay cuestiones aritméticas, como lo impar de unas medias que no tienen fin.

Continuidad

En el mundo digital, las cosas son discretas, por lo que usaremos una onda senoidal continua (esto fue a propósito y con despropósito)

\vartheta(x) = \tanh(\sin(x)),

que se ve como la figurita sin sobre.

Función seno bajo tangente hiperbólica real

La senoidal $\vartheta(x)$ está aplastada y llega en imagen hasta los reales (¿a alguien le parecen bien estos números aproximados?) $\pm 0.761594\ldots$ .

Como somos curiosos, nos hacemos la pregunta: ¿No es prácticamente lo mismo, pero con menor amplitud? Bien, agreguemos un toque de piña, un $\kappa=5$ , que modificará el empuje por dentro:

\vartheta(x) = \tanh(5\sin(x))

Y ahora sí aparece el truco del mago Giorhini.

Función seno bajo tangente hiperbólica real 2

La foto muestra la evolución en una onda cuadriculada (como las hojas del cuaderno). Hubo un estirón en la zona alrededor del $\pm 1$ y una compresión en la zona intermedia. Ponle toda la piña a $\kappa$ y mira qué te aparece.

De hecho, si ponemos todas las piñas del universo,

\lim_{\kappa \rightarrow \infty} \tanh(\kappa\sin(x)) = \operatorname{sgn}(\sin(x)),

para los puntos donde $\sin(x)\neq 0$ . ¿Así o más cuadrado?

Hacia la cuadratura del senoidal

Asumiremos que la amplitud $A$ de la onda seno está normalizada, es decir, $A=1$ .

Todo tiene una co-razón de ser. Voy a agregar algo más, la aceituna (a algunas personas no les gusta)

\vartheta(x) = \tanh(\kappa \sin(\phi x)).

Si $x$ representa tiempo, $\phi$ es la frecuencia angular y se relaciona con la frecuencia $f$ mediante $\phi = 2\pi f$ . Basta con substituir los dos primeros términos en la serie de más arriba y tenemos

\vartheta(x) \approx \kappa\sin(\phi x) - \frac{\kappa^3\sin^3(\phi x)}{3}.

Recordemos que

\sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)

que con su despeje estival de cielo limeño sale

4\sin^3(x) = 3\sin(x) - \sin(3x).

Antes de proceder, inyectamos $\phi$ . Así, llegamos al invierno que es verano 2026 nuevamente

\sin^3(\phi x) = \frac{3\sin(\phi x)-\sin(3\phi x)}{4}.

Con esto nos caemos para atrás viendo que tiene tanto la frecuencia $f$ como la frecuencia $3f$ . Seguimos en cabina

\begin{aligned} \sin^5(\phi x) &= \frac{10\sin(\phi x)}{16} \\ &\quad -\frac{5\sin(3\phi x)}{16} \\ &\quad +\frac{\sin(5\phi x)}{16}. \end{aligned}

Lo que produce los parciales $f, 3f, 5f$ . Si ya se acabó la media hora en cabina, la cosa sigue igual, el siguiente será

f, 3f, 5f, 7f, \ldots, (2N+1)f,

con $N \in \mathbb{N}$ .

Sí, si truncamos las cosas.

Para recordar de dónde salen estas identidades, debes contactar por videollamada a Newton con el binomio ese de álgebra, pero para potencias mayores y desde la exponencial (solo para usuarios avanzados).

Moviendo el bote

Podemos dejar $\phi=1$ para simplificar y, si tomamos $\kappa<0$ , la no linealidad invierte el sentido de la señal. O mucho mejor, con una saturación asimétrica.

Transformaciones de la función tangente hiperbólica real

Hemos soltado en la pista el prohibido:

\vartheta(x) = \alpha\tanh\!\bigl(\kappa A\sin(\phi x)+b\bigr)+c.

Para no perder de oído quién mueve qué potenciómetro bailable, tenemos la siguiente mesa del DJ.

Parámetro	¿Qué me estás contando?
$A$	Amplitud de la onda seno. Si está normalizada, $A=1$
$\phi$	Controla la frecuencia angular de la onda seno
$\kappa$	Controla cuánto empujamos la señal hacia la saturación de $\tanh$
$b$	Bias interno : desplaza la señal antes de pasar por la transformación no lineal
$\alpha$	Controla la amplitud o ganancia de salida después de aplicar $\tanh$
$c$	DC-offset : desplaza la señal después de la transformación no lineal

Perfecto, $A$ y $\phi$ preparan el baile ondulante de la onda seno, $\kappa$ decide con qué pasión cartesiana y cuánto la estrujamos contra la saturación.

Por su parte, $b$ la mueve antes de comerse su monstrito no lineal. Es probablemente el más interesante, puesto que rompe la simetría y puede hacer aparecer más armónicos, incluso armónicos pares.

Y para cerrar el circuito, $\alpha$ y $c$ (el universo DC, Batman y Superman) se encargan de lo que sale por el otro lado de la película.

Tabla de contenidos

Escrito por

Edgar Delgado Vega

Geek de la matemática musical, creador de herramientas de código abierto y pensador peculiar.

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A Brief Flight of Morita's p-adic Gamma in Sonic Pi

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Circuitería de variable compleja I